【向量积计算公式】向量积（又称叉积）是向量运算中的一种重要形式，主要用于三维空间中的向量运算。它在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用，如计算力矩、旋转方向等。本文将对向量积的基本概念、计算公式及应用进行简要总结，并通过表格形式展示关键内容。
一、向量积的基本概念
向量积（Cross Product）是指两个向量之间的一种乘法运算，其结果是一个与原向量垂直的新向量。该新向量的方向由右手定则决定，大小等于两个向量的模长乘积与夹角正弦值的乘积。
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积记为 a × b，其结果是一个向量，表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量积的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换律 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 结合律不成立 | 向量积不满足结合律，即 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} \neq \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ |
| 零向量 | 若 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
三、向量积的几何意义
- 方向：垂直于两个原始向量所在的平面，方向由右手定则确定。
- 大小：等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
四、向量积的计算步骤
1. 写出两个向量的坐标：$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$
2. 构造一个 3×3 的行列式：
$$
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
3. 按照行列式的展开规则计算，得到三个分量。
五、向量积的应用
| 应用领域 | 说明 |
| 力矩计算 | 在物理学中，力矩是位移向量与力向量的叉积 |
| 旋转方向 | 在计算机图形学中用于判断旋转方向 |
| 法向量计算 | 计算平面上的法向量，用于光照模型等 |
六、示例计算
已知 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，求 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}
$$
$$
= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
因此，$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$
七、总结
向量积是一种重要的向量运算，具有明确的数学定义和丰富的物理意义。通过掌握其计算方法和性质，可以更好地应用于实际问题中。本文以简洁的方式总结了向量积的基本公式、性质及其应用，便于理解和使用。
