【向量积公式】在向量代数中，向量积（又称叉积或外积）是两个向量之间的一种运算，其结果是一个与原向量垂直的新向量。向量积广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域，尤其在描述旋转、力矩和磁场等方面具有重要意义。
向量积的定义如下：设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 是一个向量，其方向由右手定则确定，大小为
向量积公式的展开形式
向量积的计算可以通过行列式的形式来表示：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
根据行列式的展开规则，可以得到：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
向量积的基本性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 与标量乘法结合 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ |
| 零向量性质 | $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ |
| 正交性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 均垂直 |
向量积的应用示例
| 应用领域 | 具体应用 | ||
| 力矩计算 | $\mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$，其中 r 为位矢，F 为力 | ||
| 磁场中的运动电荷 | $\mathbf{F} = q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})$，v 为速度，B 为磁感应强度 | ||
| 计算面积 | 两个向量构成的平行四边形面积为 $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | $ |
| 计算体积 | 三个向量组成的平行六面体体积为 $ | \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) | $ |
总结
向量积是向量运算中非常重要的一种，它不仅能够表示两个向量之间的“垂直关系”，还能用于计算面积、体积以及物理中的各种力学问题。掌握向量积的公式及其性质，有助于更深入地理解三维空间中的几何关系和物理现象。
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