【向量积的计算公式】在向量运算中，向量积（又称叉积）是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个与原两向量垂直的新向量。向量积在物理、工程和数学中有着广泛的应用，尤其是在力学、电磁学和计算机图形学等领域。
向量积的定义为：设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积。
一、向量积的基本公式
向量积的计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、向量积的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||||
| 交换律 | a × b ≠ b × a，且 a × b = - (b × a) | ||||||
| 分配律 | a × (b + c) = a × b + a × c | ||||||
| 结合律 | 向量积不满足结合律，即 (a × b) × c ≠ a × (b × c) | ||||||
| 零向量 | 若 a 与 b 共线，则 a × b = 0 | ||||||
| 模长 | a × b | = | a | b | sinθ，其中 θ 为两向量夹角 | ||
| 方向 | 垂直于 a 和 b 所在平面，符合右手螺旋法则 |
三、向量积的几何意义
向量积的模长表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积。而向量积的方向垂直于这两个向量所构成的平面，常用于判断空间中向量之间的相对位置关系。
四、向量积的应用举例
| 应用领域 | 说明 |
| 力矩 | 在力学中，力矩 τ = r × F 表示力对某一点的转动效果 |
| 磁场 | 在电磁学中，洛伦兹力公式为 F = q(v × B) |
| 计算法向量 | 在三维几何中，利用向量积可求解平面的法向量 |
| 图形旋转 | 在计算机图形学中，用于计算物体旋转轴 |
五、表格总结
| 项目 | 内容 | ||||||
| 定义 | 两个向量的叉乘，结果为一个垂直于两向量的向量 | ||||||
| 公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | ||||||
| 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$ | |
| 方向 | 垂直于 a 和 b 所在平面，符合右手定则 | ||||||
| 性质 | 不满足交换律和结合律，但满足分配律 | ||||||
| 应用 | 力矩、磁场、法向量计算、图形旋转等 |
通过以上内容可以看出，向量积不仅是向量代数中的重要概念，而且在实际应用中具有非常广泛的用途。理解并掌握其计算方法和物理意义，有助于更深入地学习相关领域的知识。
