【向量相乘公式是什么】在数学和物理中，向量是一种既有大小又有方向的量。在处理向量时，常见的运算包括加法、减法、点积（内积）和叉积（外积）。其中，向量相乘主要涉及点积和叉积两种形式。以下是对这两种向量相乘方式的总结。

一、点积（内积）

点积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个标量（即只有大小，没有方向）。点积常用于计算两个向量之间的夹角或投影长度。

公式：

设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n

$$

在三维空间中，若向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

特性：

- 点积的结果是一个标量；

- 当两向量垂直时，点积为0；

- 点积可以用来计算两个向量之间的夹角 θ，公式为：

$$

\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \mathbf{b}}

$$

二、叉积（外积）

叉积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个新的向量，其方向垂直于原两个向量所在的平面，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。

公式：

在三维空间中，若向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

或者写成：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

$$

特性：

- 叉积的结果是一个向量；

- 结果的方向由右手定则确定；

- 当两向量共线时，叉积为零向量；

- 叉积的模长等于两向量所形成的平行四边形的面积。

三、总结对比

通过以上内容可以看出，向量相乘主要包括点积和叉积两种方式，它们在不同的应用场景中发挥着重要作用。理解这两种乘法的定义与性质，有助于更好地掌握向量运算的相关知识。