【离散型随机变】在概率论与数理统计中，随机变量是一个非常重要的概念。根据其取值的特性，随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。本文将围绕“离散型随机变量”进行总结，并通过表格形式清晰展示其主要特征与常见分布。
一、什么是离散型随机变量？
离散型随机变量是指其可能取值为有限个或可列无限个的随机变量。也就是说，这些变量的取值是离散的，不能取到任意实数值，而是只能取某些特定的数值。
例如：掷一枚骰子出现的点数（1,2,3,4,5,6），或者某一天内到达某车站的乘客人数等，都是典型的离散型随机变量。
二、离散型随机变量的性质
| 特性 | 描述 |
| 可数性 | 取值为有限个或可列无限个 |
| 概率质量函数（PMF） | 对每个可能的取值，定义其对应的概率 |
| 累积分布函数（CDF） | 表示随机变量小于等于某个值的概率 |
| 数学期望 | 所有可能取值与其对应概率乘积之和 |
| 方差 | 衡量随机变量取值与其期望之间的偏离程度 |
三、常见的离散型随机变量分布
| 分布名称 | 定义 | 概率质量函数（PMF） | 数学期望 | 方差 |
| 伯努利分布 | 一次试验成功或失败 | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | n次独立试验中成功的次数 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | 单位时间内事件发生的次数 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | 首次成功发生在第k次试验 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1}p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | 不放回抽样中的成功次数 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ n\frac{K}{N} $ | $ n\frac{K}{N}(1-\frac{K}{N})\frac{N-n}{N-1} $ |
四、总结
离散型随机变量是概率论中研究的一类重要变量，它们的取值是离散的，通常用于描述计数型数据。了解其概率质量函数、数学期望和方差有助于我们更好地分析实际问题中的随机现象。常见的分布如伯努利、二项、泊松等，广泛应用于各个领域，如医学、金融、工程等。
通过表格的形式，我们可以更直观地理解不同分布的特点及其适用场景。掌握这些知识，有助于我们在实际问题中做出合理的概率判断和统计推断。
关键词：离散型随机变量、概率质量函数、期望、方差、分布类型
