【tan75度等于多少根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度，其值可以通过三角恒等式进行计算。75度可以拆分为45度和30度的和，利用正切的加法公式，可以推导出tan75°的精确表达式，并以根号形式表示。
一、tan75°的计算方法
根据正切的加法公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
令 $ a = 45^\circ $，$ b = 30^\circ $，则有：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $
代入公式得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
为了消除分母中的根号，对分子分母同时乘以 $ \sqrt{3} + 1 $，得到：
$$
\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、总结与表格展示
| 角度 | 正切值（数值） | 正切值（根号形式） |
| 75° | 约 3.732 | $ 2 + \sqrt{3} $ |
三、小结
通过使用三角恒等式，我们可以得出 tan75° 的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $。这个结果不仅可以用作数学题的解答，也常用于工程、物理等实际问题中。在需要精确表达时，使用根号形式更为准确和规范。
