在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具。其中，sin（正弦）、cos（余弦）和tan（正切）是最基本的三个三角函数。它们不仅在几何学中有广泛应用，在物理学、工程学等领域也有着不可或缺的地位。为了帮助大家更好地理解和掌握这些知识，下面将详细介绍sin、cos、tan的相关公式。
一、基本定义
假设在一个直角三角形中，∠A为锐角，则有以下定义：
- sin A = 对边 / 斜边
- cos A = 邻边 / 斜边
- tan A = 对边 / 邻边
这里，“对边”是指与∠A相对的边；“邻边”是指与∠A相邻且不作为斜边的边；“斜边”则是直角三角形中最长的一条边。
二、诱导公式
诱导公式用于处理不同象限内的角度问题，主要包括以下几种情况：
1. 奇变偶不变：当角度加上或减去π/2时，正弦和余弦会发生互换，并改变符号；而正切则保持不变。
- sin(π/2 + x) = cos(x)
- cos(π/2 + x) = -sin(x)
- tan(π/2 + x) = -cot(x)
2. 符号看象限：根据最终结果所在的象限来判断正负号。
- 第一象限：全部为正
- 第二象限：仅sin为正
- 第三象限：仅tan为正
- 第四象限：仅cos为正
三、两角和差公式
两角和差公式是解决多个角度组合问题的关键工具：
1. sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB
2. cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
3. tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)
四、倍角公式
倍角公式可以用来简化计算复杂的高次幂表达式：
1. sin(2A) = 2sinAcosA
2. cos(2A) = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A
3. tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan²A)
五、半角公式
半角公式适用于已知某个角的一半的信息时求解原角的值：
1. sin(A/2) = ±√[(1 - cosA)/2]
2. cos(A/2) = ±√[(1 + cosA)/2]
3. tan(A/2) = ±√[(1 - cosA)/(1 + cosA)] 或 tan(A/2) = sinA / (1 + cosA)
六、积化和差与和差化积
通过变换方式将乘积形式转换成加减形式或者反之亦然：
1. 积化和差：
- sinAcosB = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2
- cosAsinB = [sin(A+B) - sin(A-B)]/2
- cosAcosB = [cos(A+B) + cos(A-B)]/2
- sinAsinB = [cos(A-B) - cos(A+B)]/2
2. 和差化积：
- sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
以上便是关于sin、cos、tan所有公式的总结。熟练掌握这些公式对于解决各类三角函数相关的问题至关重要。希望本文能够为大家提供一定的参考价值！
