在高中数学的学习中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅贯穿于几何与代数之间，还广泛应用于物理、工程等领域。为了帮助大家更好地掌握这一部分的内容，本文将系统地整理出平面向量相关的常用公式和性质。
一、向量的基本概念
1. 向量定义：既有大小又有方向的量称为向量。
2. 向量表示：
- 几何表示：用有向线段表示，记作$\vec{AB}$。
- 坐标表示：若$\vec{a}=(x_1, y_1)$，$\vec{b}=(x_2, y_2)$，则两向量可以表示为坐标形式。
3. 零向量：长度为0的向量，记作$\vec{0}$。
二、向量的运算
1. 向量加法
- 三角形法则：$\vec{a}+\vec{b}$可以通过首尾相连的方式得到。
- 平行四边形法则：以$\vec{a}$和$\vec{b}$为邻边作平行四边形，则对角线表示$\vec{a}+\vec{b}$。
2. 向量减法
- $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$，即从$\vec{b}$的终点指向$\vec{a}$的起点。
3. 数乘运算
- 若$k>0$，则$k\vec{a}$的方向与$\vec{a}$相同；若$k<0$，则相反。
- 模长变化：$|\vec{a}|=k|\vec{a}|$。
三、向量的数量积
1. 定义：$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$与$\vec{b}$之间的夹角。
2. 性质：
- 交换律：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$；
- 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$；
- 结合律（注意仅适用于数量积）：$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$。
四、向量的模与方向余弦
1. 模长公式：$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$；
2. 方向余弦：
- $\cos\alpha=\frac{x}{|\vec{a}|}$，$\cos\beta=\frac{y}{|\vec{a}|}$，
其中$\alpha,\beta$分别为$\vec{a}$与$x$轴、$y$轴正方向的夹角。
五、向量的应用
1. 平行与垂直条件：
- 平行：$\vec{a}//\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}=k\vec{b}(k\in R)$；
- 垂直：$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。
2. 投影公式：设$\vec{a},\vec{b}$为非零向量，则$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影为$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$。
以上便是高中数学平面向量的主要公式总结。熟练掌握这些公式对于解决相关问题至关重要。希望同学们能够通过不断练习巩固所学知识，在考试中取得优异成绩！
