【向量垂直公式】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。向量垂直的判定依据是它们的点积（内积）为零。本文将对“向量垂直公式”进行简要总结，并通过表格形式清晰展示相关知识点。
一、向量垂直的基本概念
两个向量 a 和 b 在几何上互相垂直时，意味着它们之间的夹角为 90度。根据向量的点积定义，若两个向量满足以下关系：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
则称这两个向量互相垂直。
二、向量垂直的公式
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积公式为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n
$$
若该结果为 0，则说明两向量垂直。
三、常见向量空间中的垂直条件
| 向量维度 | 向量表示 | 垂直条件公式 |
| 二维 | a = (a₁, a₂) | a₁b₁ + a₂b₂ = 0 |
| 三维 | a = (a₁, a₂, a₃) | a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0 |
| n维 | a = (a₁, a₂, ..., aₙ) | Σ(a_i b_i) = 0 (i=1到n) |
四、应用举例
例1：
向量 a = (3, 4)，向量 b = (-4, 3)
计算点积：
$$
3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，a 和 b 垂直。
例2：
向量 a = (1, 2, -3)，向量 b = (4, -1, 1)
计算点积：
$$
1 \times 4 + 2 \times (-1) + (-3) \times 1 = 4 - 2 - 3 = -1
$$
因为不等于 0，所以 a 和 b 不垂直。
五、小结
- 向量垂直的核心判断依据是点积为零；
- 公式适用于任意维度的向量；
- 点积计算方式为对应分量相乘后求和；
- 实际应用中可用于几何分析、物理力学、计算机图形学等领域。
通过掌握这一基本公式，可以更高效地处理与向量方向相关的数学问题。
