【平面向量的所有公式归纳】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅在几何中有着广泛的应用，也在物理、工程等领域中发挥着重要作用。为了帮助大家更好地掌握平面向量的相关知识，本文将对平面向量的主要公式进行系统归纳和总结。
一、基本概念与表示
| 概念 | 说明 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，常用有向线段表示 |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向任意 |
| 单位向量 | 长度为1的向量 |
| 相等向量 | 方向相同且长度相等的向量 |
| 相反向量 | 方向相反但长度相等的向量 |
二、向量的加减法
| 公式 | 说明 |
| $\vec{a} + \vec{b}$ | 向量加法，可用三角形法则或平行四边形法则 |
| $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ | 向量减法，等于加上相反向量 |
| $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ | 零向量的性质 |
| $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ | 互为相反向量的和为零向量 |
三、向量的数乘
| 公式 | 说明 | ||||||
| $k\vec{a}$ | 数乘向量，k为实数 | ||||||
| $ | \lambda \vec{a} | = | \lambda | \vec{a} | $ | 数乘后的模长 | |
| $\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu)\vec{a}$ | 数乘的结合律 | ||||||
| $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$ | 数乘的分配律 | ||||||
| $\lambda (\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$ | 数乘的分配律 |
四、向量的坐标表示
设$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
| 公式 | 说明 | ||
| $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 向量加法的坐标形式 | ||
| $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ | 向量减法的坐标形式 | ||
| $k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$ | 数乘向量的坐标形式 | ||
| $ | \vec{a} | = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ | 向量的模长公式 |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ | 向量的数量积（点积） |
五、向量的夹角与投影
| 公式 | 说明 | ||||||
| $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 向量夹角的余弦值 | |||
| $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 向量$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影 | ||||
| $ | \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} | = \frac{ | \vec{a} \cdot \vec{b} | }{ | \vec{b} | }$ | 投影的长度 |
六、向量的共线与垂直
| 公式 | 说明 |
| $\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda \vec{b}$ | 向量共线的条件（存在实数λ） |
| $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 向量垂直的条件 |
七、向量的模与单位向量
| 公式 | 说明 | ||
| $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 向量的单位向量 |
| $ | \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ | 向量模长的另一种表示方式 |
八、向量的夹角范围
- 向量夹角θ的取值范围：$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$
- 当$\theta = 0^\circ$时，两向量同向；
- 当$\theta = 180^\circ$时，两向量反向；
- 当$\theta = 90^\circ$时，两向量垂直。
总结
平面向量是数学中非常基础且实用的知识内容，掌握其基本公式有助于解决各种几何和物理问题。通过上述表格的形式，可以更清晰地了解各个公式的应用场景和计算方法。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。
