在数学分析中，不定积分是研究函数原函数的重要工具之一。当我们遇到类似 \( 1 \ln x \) 这样的表达式时，可以通过分部积分法来求解其不定积分。

分部积分公式

分部积分法的核心公式为：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

在这里，我们需要合理选择 \( u \) 和 \( dv \)，使得计算过程更加简便。

解题步骤

假设我们要求解的是 \( \int \ln x \, dx \)（这里省略了前面的系数 \( 1 \)，因为不影响方法）。我们可以按照以下步骤操作：

1. 选择 \( u \) 和 \( dv \)

根据经验，令：

\[

u = \ln x, \quad dv = dx

\]

2. 计算 \( du \) 和 \( v \)

对 \( u \) 求导得到 \( du \)，对 \( dv \) 积分得到 \( v \)：

\[

du = \frac{1}{x} dx, \quad v = x

\]

3. 代入分部积分公式

将上述结果代入分部积分公式：

\[

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx

\]

4. 化简并继续计算

注意到 \( x \cdot \frac{1}{x} = 1 \)，因此：

\[

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx

\]

而 \( \int 1 \, dx = x + C \)，所以最终结果为：

\[

\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C

\]

总结

通过分部积分法，我们成功求得了 \( \int \ln x \, dx \) 的结果。如果题目中的系数 \( 1 \) 存在，则只需将其乘回最终结果即可。

希望这个解答对你有所帮助！如果还有其他问题，欢迎继续探讨。