【似然函数怎么求】在统计学中，似然函数是一个非常重要的概念，尤其在参数估计和假设检验中有着广泛应用。本文将从基本定义出发，逐步讲解如何求解似然函数，并通过表格形式进行总结。

一、什么是似然函数？

似然函数（Likelihood Function）是用来衡量在给定观测数据下，模型参数取某个值的可能性大小的函数。它与概率函数密切相关，但两者方向不同：

- 概率函数：在给定参数的情况下，计算某组数据出现的概率。

- 似然函数：在给定数据的情况下，计算参数取某个值的可能性。

简而言之，似然函数是关于参数的函数，而概率函数是关于数据的函数。

二、似然函数的求法

1. 离散型随机变量

设 $ X_1, X_2, \dots, X_n $ 是来自某一分布的独立同分布样本，其概率质量函数为 $ f(x\theta) $，则似然函数为：

$$

L(\theta x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i\theta)

$$

2. 连续型随机变量

若 $ X_1, X_2, \dots, X_n $ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x\theta) $，则似然函数为：

$$

L(\theta x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i\theta)

$$

注意：虽然连续变量的概率密度不是“概率”，但在实际应用中，我们仍然使用概率密度来构造似然函数。

三、求解步骤总结

四、举例说明

示例1：伯努利分布

设 $ X \sim \text{Bernoulli}(p) $，即 $ P(X=1) = p $，$ P(X=0) = 1-p $。

若观测到 $ n $ 次独立试验结果为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，则似然函数为：

$$

L(p x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}

$$

示例2：正态分布

设 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，概率密度函数为：

$$

f(x\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

$$

若观测到 $ n $ 个独立样本，则似然函数为：

$$

L(\mu, \sigma^2 x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}}

$$

五、总结

通过上述方法，我们可以系统地理解并求解似然函数。掌握这一过程对于深入学习统计推断和机器学习中的参数估计方法具有重要意义。