【超几何分布的期望和方差】超几何分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，常用于描述在不放回抽样中成功次数的概率分布。它适用于从有限总体中抽取样本的情况，与二项分布不同，超几何分布考虑的是无放回抽样的情况。
本文将对超几何分布的期望和方差进行总结，并通过表格形式清晰展示其计算公式和实际意义。
一、超几何分布简介
设一个总体中有 $ N $ 个个体，其中成功个体（如合格品）有 $ K $ 个。从中随机抽取 $ n $ 个个体（不放回），设 $ X $ 表示这 $ n $ 个个体中成功的数量，则 $ X $ 服从参数为 $ (N, K, n) $ 的超几何分布，记作：
$$
X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n)
$$
二、期望与方差公式
超几何分布的期望和方差是衡量其集中趋势和离散程度的重要指标。以下是其数学表达式：
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 期望 $ E(X) $ | $ \frac{nK}{N} $ | 表示在 $ n $ 次不放回抽样中，平均成功次数。 |
| 方差 $ \text{Var}(X) $ | $ \frac{nK(N - K)(N - n)}{N^2(N - 1)} $ | 表示成功次数的波动程度，受总体大小、成功数及抽样数的影响。 |
三、实际应用中的理解
- 期望的意义：
超几何分布的期望值可以看作是对“平均成功次数”的估计。例如，在一个装有 100 个球的箱子中，有 30 个红球，若随机抽取 10 个球，则期望中红球的数量约为 $ \frac{10 \times 30}{100} = 3 $。
- 方差的意义：
方差反映了结果的不确定性。当抽样比例较大时（即 $ n $ 接近 $ N $），方差会变小，因为抽样后的总体变化较小；反之，若抽样比例小，方差则较大。
四、对比二项分布
虽然超几何分布和二项分布都用于描述成功次数的概率，但它们之间存在关键差异：
| 特性 | 超几何分布 | 二项分布 |
| 抽样方式 | 不放回抽样 | 放回抽样 |
| 总体大小 | 有限 | 无限或可视为无限 |
| 方差 | 较小（因无放回影响） | 较大（因独立事件） |
| 应用场景 | 产品质量检验、彩票抽奖等 | 随机试验、重复实验等 |
五、总结
超几何分布是一种在无放回抽样中非常实用的概率模型，尤其适用于有限总体的统计分析。其期望和方差的计算公式简洁明了，能够帮助我们快速了解数据的集中趋势和离散程度。在实际应用中，正确识别是否为超几何分布有助于提高统计分析的准确性。
附表：超几何分布期望与方差总结
| 参数 | 数学表达式 | 实际含义 |
| 期望 $ E(X) $ | $ \frac{nK}{N} $ | 平均成功次数 |
| 方差 $ \text{Var}(X) $ | $ \frac{nK(N - K)(N - n)}{N^2(N - 1)} $ | 成功次数的波动程度 |
通过以上内容，我们可以更全面地理解超几何分布的核心特征及其在实际问题中的应用价值。
