【平面向量共线定理是什么】在高中数学中，平面向量是重要的几何工具之一。其中，“共线”是一个常见的概念，指的是两个向量方向相同或相反，即它们位于同一直线上。平面向量共线定理是判断两个向量是否共线的重要依据。
一、定理
平面向量共线定理指出：如果两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线，那么存在唯一的实数 $k$，使得：
$$
\vec{b} = k \vec{a}
$$
换句话说，一个向量可以表示为另一个向量的数乘形式，当且仅当它们共线。
此外，若已知向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则这两个向量共线的充要条件是：
$$
x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
$$
这个公式也被称为向量共线的行列式条件。
二、关键点总结
| 关键点 | 内容说明 |
| 定义 | 向量共线是指两个向量方向相同或相反，即位于同一直线上。 |
| 数学表达 | 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则存在唯一实数 $k$，使得 $\vec{b} = k \vec{a}$。 |
| 坐标形式 | 若 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则共线的充要条件是 $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$。 |
| 应用场景 | 用于判断点共线、直线平行、参数方程等几何问题。 |
三、举例说明
例1：已知 $\vec{a} = (2, 4)$，$\vec{b} = (1, 2)$，判断是否共线。
解：
计算行列式：$2 \times 2 - 1 \times 4 = 4 - 4 = 0$
所以 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线。
例2：已知 $\vec{a} = (3, 6)$，$\vec{b} = (1, 3)$，判断是否共线。
解：
计算行列式：$3 \times 3 - 1 \times 6 = 9 - 6 = 3 \neq 0$
所以 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线。
四、小结
平面向量共线定理是向量运算中的基础理论之一，它不仅有助于理解向量之间的关系，还能在解析几何、物理运动分析等领域发挥重要作用。掌握该定理的数学表达和应用方法，对学习后续知识具有重要意义。
