sinx的导数的详细的求导过程

在数学分析中，求导是一项基础而重要的技能。对于函数 $ y = \sin x $，其导数的求解过程既经典又富有启发性。下面我们详细推导这一过程。

首先回顾定义法。函数 $ f(x) $ 的导数定义为：

$$

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

$$

将 $ f(x) = \sin x $ 代入上述公式，我们得到：

$$

\frac{d}{dx}(\sin x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}.

$$

利用三角恒等式 $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$，可将分子展开为：

$$

\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h.

$$

将其代入后化简：

$$

\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}.

$$

进一步拆分分子：

$$

= \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}.

$$

接下来分别处理两个极限部分。根据已知结论：

$$

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0, \quad \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1.

$$

因此，最终结果为：

$$

\frac{d}{dx}(\sin x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.

$$

综上所述，函数 $ y = \sin x $ 的导数为 $ y' = \cos x $。这一结论不仅体现了微积分的核心思想，还揭示了正弦与余弦函数之间的深刻联系。

希望以上推导能够帮助您更好地理解这一知识点！

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