在数学中，三角函数是一个非常重要的部分，它帮助我们理解角度与边长之间的关系。当我们知道一个角 \( A \) 的正切值（即 \( \tan A = 3 \)）时，如何进一步求出这个角的正弦值（\( \sin A \)）和余弦值（\( \cos A \)）呢？

首先，我们需要回顾一下三角函数的基本定义：

- 正切 (\( \tan A \)) 是对边与邻边的比值。

- 正弦 (\( \sin A \)) 是对边与斜边的比值。

- 余弦 (\( \cos A \)) 是邻边与斜边的比值。

已知 \( \tan A = 3 \)，这意味着对边与邻边的比例为 3:1。为了更直观地解决问题，我们可以将这个问题抽象成一个直角三角形。假设对边长度为 3，邻边长度为 1，那么根据勾股定理，可以计算出斜边的长度：

\[

\text{斜边} = \sqrt{\text{对边}^2 + \text{邻边}^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}

\]

接下来，利用正弦和余弦的定义，我们可以分别求出它们的值：

- \( \sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)

- \( \cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \)

当然，在实际应用中，我们通常会将分母有理化，以使表达更加简洁：

- \( \sin A = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)

- \( \cos A = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \)

因此，当 \( \tan A = 3 \) 时，我们得到：

\[

\sin A = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \quad \cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}

\]

通过这种方法，我们可以轻松地从已知的正切值推导出对应的正弦值和余弦值。这种技巧在解决复杂的几何或物理问题时尤为实用，希望大家能够熟练掌握！

希望这篇文章符合您的需求！如果还有其他问题，请随时告诉我。