在广义相对论中，史瓦西半径是一个非常重要的概念，它描述了黑洞的边界。史瓦西半径的公式为 \( R_s = \frac{2GM}{c^2} \)，其中 \( G \) 是引力常数，\( M \) 是天体的质量，而 \( c \) 则是光速。

要推导这个公式，我们首先需要从爱因斯坦的场方程出发。广义相对论中的场方程可以写为：

\[ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]

这里 \( G_{\mu\nu} \) 是爱因斯坦张量，\( \Lambda \) 是宇宙学常数，\( g_{\mu\nu} \) 是时空度规，而 \( T_{\mu\nu} \) 则代表物质的能量-动量张量。

对于一个球对称且静态的物体，我们可以采用史瓦西度规来描述其外部时空结构。史瓦西度规的形式为：

\[ ds^2 = -\left(1-\frac{R_s}{r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{R_s}{r}} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \]

在这个度规中，\( R_s \) 就是我们所寻找的史瓦西半径。

接下来，我们考虑光子在该背景下的运动轨迹。由于光速 \( c \) 是不变的，因此光子的四维动量 \( p^\mu \) 满足 \( g_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = 0 \)。通过分析光子的运动方程，并结合能量守恒和角动量守恒的原则，我们可以得到：

\[ E^2 = \left(1-\frac{R_s}{r}\right)c^2 p_t^2 \]

\[ L^2 = r^2 \left(p_\theta^2 + \sin^2\theta p_\phi^2\right) \]

其中 \( E \) 和 \( L \) 分别表示光子的能量和角动量。

当光子接近天体表面时，其轨迹将变得极端弯曲。如果光子无法逃离天体的引力场，则意味着该天体形成了一个黑洞。此时，我们需要找到一个临界半径 \( R_s \)，使得光子恰好能够围绕天体做圆周运动而不逃逸或坠入天体内部。

通过对上述方程进行数学处理，并结合天体质量 \( M \) 的定义 \( M = \frac{4}{3}\pi\rho R^3 \)，最终可以得出史瓦西半径公式 \( R_s = \frac{2GM}{c^2} \)。

这个结果表明，任何超过一定质量密度的天体都有可能塌缩成黑洞。史瓦西半径不仅揭示了黑洞的基本性质，还为我们理解宇宙中的极端物理现象提供了重要线索。