对于一个随机变量 \( X \) 服从参数为 \( n \) 和 \( p \) 的二项分布（记作 \( X \sim B(n, p) \)），其概率质量函数为：
\[
P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n
\]
其中 \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) 表示组合数。
期望值的推导
为了计算二项分布的期望值 \( E(X) \)，我们利用期望的线性性质以及单次伯努利试验的结果。假设每次试验只有两种可能的结果：“成功”或“失败”，并且每次试验的成功概率为 \( p \)。那么，每次试验可以看作是一个伯努利随机变量 \( Y_i \)，满足：
\[
Y_i =
\begin{cases}
1, & \text{当第 } i \text{ 次试验成功时}, \\
0, & \text{当第 } i \text{ 次试验失败时}.
\end{cases}
\]
显然，\( Y_i \) 的期望值为：
\[
E(Y_i) = 1 \cdot P(Y_i = 1) + 0 \cdot P(Y_i = 0) = p.
\]
由于 \( X \) 是 \( n \) 次独立伯努利试验的总和，即 \( X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n \)，根据期望的线性性质，有：
\[
E(X) = E(Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n) = E(Y_1) + E(Y_2) + \cdots + E(Y_n).
\]
因为每个 \( Y_i \) 的期望值都是 \( p \)，所以：
\[
E(X) = np.
\]
方差的推导
接下来我们来推导二项分布的方差 \( Var(X) \)。首先，我们知道方差的定义为：
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2.
\]
为了求 \( E(X^2) \)，我们可以利用 \( X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n \) 并结合独立性和二项式定理展开：
\[
X^2 = (Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n)^2 = \sum_{i=1}^{n} Y_i^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} Y_i Y_j.
\]
由于 \( Y_i^2 = Y_i \) （因为 \( Y_i \) 只能取值 0 或 1），我们有：
\[
E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} E(Y_i) + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} E(Y_i Y_j).
\]
注意到 \( Y_i \) 和 \( Y_j \) 是独立的，因此 \( E(Y_i Y_j) = E(Y_i)E(Y_j) = p^2 \)。同时，所有 \( E(Y_i) \) 都等于 \( p \)，所以：
\[
E(X^2) = np + 2 \binom{n}{2} p^2.
\]
利用组合数公式 \( \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \)，可以进一步简化为：
\[
E(X^2) = np + n(n-1)p^2.
\]
现在我们可以计算方差：
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = np + n(n-1)p^2 - (np)^2.
\]
整理后得到：
\[
Var(X) = np(1-p).
\]
结论
综上所述，若随机变量 \( X \) 服从参数为 \( n \) 和 \( p \) 的二项分布，则其期望值和方差分别为：
\[
E(X) = np, \quad Var(X) = np(1-p).
\]
